허브정원 화단주변 잔디가 번식하여 허브를 모두 망쳤어요

허브정원의 흙유실을 방지하려고 화단주변에 한국형 잔디를 가꾸었는데
잔디가 포복형으로 과도하게 번식하여 허브정원을 망치고 있네요.

잔디를 걷어내고 차단막을 설치하여 10cm정도의 잔디라인을 유지하고 싶은데 어떻게 해야 하나요?
차단막은 잔디가 뚫고 들어갈 수 없는 아크릴이나 넥산 같은 얇고 강한 건축재를 이용하려고 합니다.
지상포복경은 잘라주고 관리를 하면 될 것 같은데 지하포복경이 문제입니다.

지하포복경은 막히면 밑으로 파고들어가나요? 얼마나 파고들지요?
깊이를 어느정도로 해야 지하포복경의 번식을 막을 수 있나요?

조언 부탁드립니다.